martes, 7 de agosto de 2012

Capitulo Nº4: Dinamica

4) DINÁMICA

4) Dinámica de una partícula

Describe el movimiento a partir del concepto de FUERZA (CF vectorial)

Ø  Cantidad física derivada en el SI

Ø  Permite representar interacciones:

Ø  Interacción gravitacional(IG)

o   Fuerza gravitacional º W (peso)

Ø  Interacción electromagnética (IEM)

o   Fuerza E.M. = f (fricción)
o   Tensión
o   Comprensión
o   Fuerzas de contacto

Ø  IND {de cierta forma se cumplen las fuerzas}

Ø  INF {idem}


Hay que recordar que este concepto fue introducido por I. Newton en la descripción del movimiento de los cuerpos.


4.1) Leyes de Newton

Estas leyes constituyen las leyes del movimiento de los cuerpos (v <<<c)

Estas leyes son válidas para los observadores inerciales (describen la Física {mecánica}en forma equivalente).


PRIMERA LEY

Todo cuerpo conservará su estado de reposo v MRU  mientras no actúe sobre el una fuerza resultante (Fza resultante, FR)


observación:

Esta 1ra ley pretende “conocer” a la fuerza como aquella que produce cambio en el estado de movimiento de los cuerpos.

En los “Principia”, la obra cumbre de Isaac, estas Leyes aparecen en el tomo II, en muchos casos la fuerza resultante asume solo una fuerza.

¿? Hacer monografía sobre la vida de Isaac Newton.

Isaac Newton nació en las primeras horas del 25 de diciembre de 1642 (4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano), en la pequeña aldea de Woolsthorpe, en el Lincolnshire. Su padre, un pequeño terrateniente, acababa de fallecer a comienzos de octubre, tras haber contraído matrimonio en abril del mismo año con Hannah Ayscough, procedente de una familia en otro tiempo acomodada. Cuando el pequeño Isaac acababa de cumplir tres años, su madre contrajo de nuevo matrimonio con el reverendo Barnabas Smith, rector de North Witham, lo que tuvo como consecuencia un hecho que influiría decisivamente en el desarrollo del carácter de Newton: Hannah se trasladó a la casa de su nuevo marido y su hijo quedó en Woolsthorpe al cuidado de su abuela materna.


¿? Leer la Leyes en los Principia.


El primero en oponerse a las ideas de Newton en materia de óptica fue Robert Hooke, a quien la Royal Society encargó que informara acerca de la teoría presentada por aquél. Hooke defendía una concepción ondulatoria de la luz, frente a las ideas de Newton, precisadas en una nueva comunicación de 1675 que hacían de la luz un fenómeno resultante de la emisión de corpúsculos luminosos por parte de determinados cuerpos. La acritud de la polémica determinó que Newton renunciara a publicar un tratado que contuviera los resultados de sus investigaciones hasta después de la muerte de Hooke y, en efecto, su Opticks no se publicó hasta 1704. Por entonces, la obra máxima de Newton había ya visto la luz.
En 1676 Newton renunció a proseguir la polémica acerca de su teoría de los colores y por unos años, se refugió de nuevo en la intimidad de sus trabajos sobre el cálculo diferencial y en su interés (no por privado, menos intenso) por dos temas aparentemente alejados del mundo sobrio de sus investigaciones sobre la naturaleza: la alquimia y los estudios bíblicos. La afición de Newton por la alquimia (John Maynard Keynes lo llamó «el último de los magos») estaba en sintonía con su empeño por trascender el mecanicismo de observancia estrictamente cartesiana que todo lo reducía a materia y movimiento y llegar a establecer la presencia efectiva de lo espiritual en las operaciones de la naturaleza.
Newton no concebía el cosmos como la creación de un Dios que se había limitado a legislarlo para luego ausentarse de él, sino como el ámbito donde la voluntad divina habitaba y se hacía presente, imbuyendo en los átomos que integraban el mundo un espíritu que era el mismo para todas las cosas y que hacía posible pensar en la existencia de un único principio general de orden cósmico. Y esa búsqueda de la unidad en la naturaleza por parte de Newton fue paralela a su persecución de la verdad originaria a través de las Sagradas Escrituras, persecución que hizo de él un convencido antitrinitario y que seguramente influyó en sus esfuerzos hasta conseguir la dispensa real de la obligación de recibir las órdenes sagradas para mantener su posición en el Trinity College.


SEGUNDA LEY:

Si la fuerza resultante es diferente de , entonces, el cuerpo acelerara.



La cantidad “m” se determina experimentalmente y es denominada PROPIEDAD MASA DEL CUERPO.

m º ml : masa inercial
                se opone a los movimientos

m º mg: masa gravitacional
                favorece a los movimientos

Þ m º ml º mg : de esta forma Newton resuelve magistralmente la disyuntiva.


La segunda ley establece un orden de hechos:

Ø  Causa:
Ø  Efecto:

Se desarrolla la corriente filosófica basada en el llamado Principio de Casualidad Þ Física clásica.



TERCERA LEY:

Las fuerzas en la naturaleza aparecen apareadas.



Características:

i) Actúan sobre cuerpos diferentes.
ii) 

Observaciones:

k)      El estado de reposo o MRU suele ser llamado estado de EQUILIBRIO o INERCIAL.

kk)   En particular el equilibrio con MRU suele ser llamado estado natural, libre de los cuerpos.

kkk) La forma operacional de la segunda ley es:



kv) DCL (Diagrama Cuerpo Libre): Consiste en aislar al cuerpo (o parte del sistema), graficando todas las fuerzas actuantes. Recordar que las fuerzas son representaciones de interacciones, por lo tanto, en el DCL deberán de existir tantas fuerzas como interacciones experimente el cuerpo. Veamos algunos ejemplos,


4,2) Algunas fuerzas especiales

i) Fuerza de fricción, 

   Es una fuerza que  aparece durante el desplazamiento (o intento de desplazamiento) relativo de superficies. Se opone siempre a dicho desplazamiento.

®  por deslizamiento

 Es una fuerza de procedencia electromagnética y se estudia de dos formas:

Hace ~ 500 años: Coulomb, Amontons.


® Analítica: Nanotribología

    Modelos de f a nivel, atómico – molecular,  propuestos hace 15 años.




Descripción Experimental

i)

            F = fs ® Fmax = fs, max = ms N

            F > Fmax ® v0

                  Fmax : caracteriza el estado de movimiento inminente


Observación: f generalmente modelada por el experimento.


f º a + bv + cv2 + …
     ­    ­      ­


Propuesta Experimental: “La velocidad limite”, vL

Mediante un montaje experimental sencillo es posible corroborar uno de los resultados más notables de la fuerza de fricción, esto es , cuando se le puede modelar en función a la velocidad, pudiendo comprobar rápidamente la predicción teórica.


¿? Importancia de la velocidad limite. Aplicaciones


ii) Fuerza Gravitacional

Ley de la gravitación universal

® I. Newton

Teoría general de la relatividad

® A. Einstein

                              m2

                -F
m1       F
                   r                    






“Leyes” de Kepler

®J. Kepler

I. Orbitas






II. Velocidad Areal



III. Periodos Orbitales

 



iii) Fuerza centrípeta, Fcp


Fuerza resultante de todas las fuerzas radiales dirigidas hacia el centro de curvatura

iv) Fuerza elástica: Ley de Hooke


                                PÎ


                  K
                                m
                                                       x
                                 0







Fres = - kx

Describe adecuadamente movimientos periódicos oscilantes.


4,3) Dinámica del movimiento Circular


Aplicando la segunda Ley y escribiéndola en los ejes radial y tangencial obtendríamos las ecuaciones suficientes par describir el MC adecuadamente.

Estas ecuaciones también se podrían escribir en la variable angular. Si se conocen las fuerzas se obtendrían 2 ecuaciones en variables cinemáticas, resultando ser una descripción ya conocida.

Capitulo Nº3: Cinemática de una partícula

3) CINEMATICA DE UNA PARTICULA

3)   Cinemática de una Partícula

Fenómeno ® Movimiento

Teoría de la relatividad (TR)…A  Einstein

En la descripción del Fenómeno Movimiento debemos de considerar lo siguiente,

a)    El observador, referencia, O

      ® Descriptor del movimiento


        

                                              t
O                                                   





“La trayectoria es función del estado del observador”, t º t (O)

         Por ejemplo, si se deja caer una pelota, la caída es descrita por O y O’, tal como se muestra a continuación,


1°                                                  2°



        O (reposo)                                                           
                                                                            O’ (v=cte)

       t                                                                  t









Por lo tanto, la trayectoria es una función de estado del observador.


b)    El móvil, representado por el punto P usando el Modelo de Partícula, el cual se usa cuando del movimiento del cuerpo solo nos interesa la componente trasnacional.

Modelo de Partícula:
                             
Móvil                                             P
                                      º  
 







Definición de Cinemática: La cinemática describe el fenómeno movimiento usando las cantidades cinemáticas (cc):

 : vector posición
 : vector velocidad
 : vector aceleración

3,1) Cantidades Cinemáticas, cc

i)     Vector Posición,

Describe la posición del móvil en el tiempo. Es el problema fundamental de la cinemática,



                                                 


                                
Vector desplazamiento,: Describe como cambia la ,



                 




t® tf  :  Dt = tf - ti

                                                                                    
                                                                                                                tang

                                                                                      
                                                                                   
                                                                                                  
                                                                            t               sec














ii)        Vector velocidad,

 Describe los cambios de la posición respecto del t,

            j) Definición de Vector velocidad media,

               Es la velocidad aplicable a intervalos.


           
           
            jj) Definición de Vector velocidad instantánea,

                  Es la velocidad que posee el móvil en cada instante de tiempo. Se define mediante el limite de la . El siempre es tangente a la t.
                                        

                                      


      Este límite especial en FI será denominado derivada,




Definición  de rapidez,

: rapidez


¿?.      Describa que es el tiempo según la lectura de “Breve historia del tiempo” de Stephen Hawking.


¿? Describa, de igual forma, que es el tiempo según la lectura de   “Brevísima historia del tiempo” también de Stephen Hawking.

¿? Cuál es el último trabajo de divulgación de este brillante científico y propalador de las ciencias.


iii)   Vector Aceleración

Describe los cambios de la velocidad respecto del t.

            j) Definición de Vector aceleración media,

               Es la aceleración aplicable a intervalos.


           
           
            jj) Definición de Vector aceleración instantánea,

                  Es la aceleración que posee el móvil en cada instante de tiempo. Se define mediante el límite de la . La  siempre es cóncava a la t.                                       

                                     


      Este límite especial en FI será denominado derivada,





¿? Será importante definir . Existirá alguna rama de la tecnología donde interese conocer esta cantidad.



3,2) Tipos de Movimientos


i)     Movimiento Rectilíneo, MR

Definiciónt ® L (Â)









j) Movimiento Rectilíneo Uniforme, MRU


k) Condición

                   

kk) Ecuaciones

     l)

     II)


                         



                        t








                       




kkk) Graficas


l) v-t

   v                                                   



                A                                                      
   0                                   t                                                  


A(t)=x(t)




                      
ll) x-t

                                                       x


                                                                         A
                                                       
                                                         0                                    t







A: No da información cinemática




jj) Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)


k) Condiciones

                   

kk) Ecuaciones

l)

II)

                       


                 
a(t)
 
                      t
 v(t)
 
0
 
x
 
x(t)
 






  

                       



             



IlI)

                          


  




       


* Ecuaciones auxiliares: i)    ii)



kkk) Gráficas


l) a-t

   a                                                   




                A                                                      
   0                                   t                                                  


A(t)=v(t)




                       
ll) v-t

                                                       v


                                                                         A
                                                       
                                                         0                                    t


    A(t)=x(t)







lll) x-t

     x



              A                A            t
                        A



A: no proporciona información cinemática.




* Definición de movimientos acelerados

Movimientos acelerados:


DEF:  ­¬  ­­

                                                 v +                               a +

0                                                                                                      x
                                               








Movimientos desacelerados:


DEF ¯ ¬  ­¯

                      v -                               a +
                                                              x
                     v +                            a -






Por ejemplo, ¿Qué intervalos corresponden a movimientos acelerados?

                                                                                                a ®
                                                                                                v®


        
        a

        v            +               -                 -                     +               t      

         0                  2                 4                6













ii)         Movimientos Planares o Bidimensionales

Las trayectorias están contenidas en un plano.

t ® Â2 (P)

j)          Movimiento Parabólico, MP

Caso .

Los movimientos parabólicos con aceleración constante son producidos cuando la v(0) no es paralela a la . El plano del movimiento es determinado por los vectores velocidad inicial  y aceleración . El eje de la parábola es paralelo a la . Estos movimientos también presentan simetría de rapideces y tiempos a un mismo nivel.




   y                                                     Z
                                                                                                




          A                       A’                                
        ta                  td       P                      
   0                                       x            0                                     Y


                                    X



La forma más sencilla de describir los MP consiste en asumir uno de los ejes, el eje Y, paralelo a la aceleración, tradicionalmente , de tal forma que,

Y®, simplifica la descripción:

          X: MRU    ® ax º 0
          Y: MRUV ® ay = a º g (por lo general)


Esta simplificación de la descripción es debido al “carácter”  vectorial de la Física ® Cinemática,


                                   MP º MRUx “+” MRUVy  


Por supuesto que la elección del sistema coordenado puede ser arbitraria, esto es, tomar los ejes XY en cualquier dirección, lo cual conduce a la descripción general,

          MPº MRUVx “+” MRUVy (caso general, X e Y en cualquier dirección)


Simetrías:
                                                       x


                                            
        P













Ø  Proporcionalidad de la trayectoria a ambos lados del eje.

Ø  Para todo nivel:

            va º vd (rapideces)

              ta º td


Aplicación importante del MP: Movimiento de proyectiles

Como ha de suponerse, este movimiento no toma en cuenta alturas superiores a 20 km, existencia de aire ni rotación de la tierra. El movimiento de proyectiles constituye un caso interesante de la ciencia donde determinados campos de investigación, el desarrollo de proyectiles, por ejemplo, resultan favorecidos por motivos impropios. El desarrollo de la cohetería efectuado desde finales del siglo XIX hasta mediados del siglo XX, jugo un papel preponderante en las 2 guerras mundiales así como en la conquista del espacio…

El movimiento de proyectiles suele describirse usando ciertos parámetros como tiempo de vuelo, tv, alcance o rango, R y altura máxima, H. Si consideramos la siguiente geometría,







   y                                                     Z
                                                                                                




                                                                    
    
           q                                                            q
   0                                       x            0                                     Y


                                    X


i)             Tiempo de vuelo, tv

                



ii)            Alcance o Rango, R

                



iii)           Altura máxima, H

                




¿? Conceptos de simetría. Como debo entender su manifestación en la     naturaleza. Simetría en la física. Simetría en las matemáticas.

¿? Qué otros tipos de MP que no guarden la condición de  cte se desarrollan en el universo.

¿? Busque 5 ejemplos reales de MP.

¿? Como se vinculan el desarrollo de las computadoras y de la cohetería con la carrera espacial.

¿? Que opina de la discrepancia acerca de la paternidad de la cohetería: Werner von Braun- Pedro Paulet.




                          
    v0               R
           q        
                 a
S4P12) Un cañón está colocado para que dispare sus proyectiles con una rapidez inicial v0 directamente hacía una colina, cuyo ángulo de elevación es a ¿Cuál será la longitud R a la que impacten los proyectiles sobre la colina?


SOLUCION:

R =?

t ® x, y  ®  P:  y º a + bx + cx2


      Y 

     yp                                                          P



            (0)
                                 R

             q    
                          a
       0                                           xp                    X














x: MRU

x(t) º x(0) + vx (0) t    ®  x(t) º 0 + {v(0) cosq} t ….  (1)


y: MRUV

y(t) º y(0) + vy (0) t – (1/2)g t2 ,  = 10, ®   y(t) º 0 + {v(0) senq} t  t2 …. (2)

De (1):

(1’)

1’ ® 2:

P:   


P ® P:  xp º Rcosa
  yp º Rsena

    ® Rsena º {tgq} Rcosa - g   R2cos2a   
                                                  2v2(0)cos2q

 





¿? Evalúe para v(0)= 50,


¿? Podría, de alguna manera lógica, determinar el valor de q para maximizar R


S4P14) Un estudiante desea arrojar una pelota hacia afuera, por la ventana de un dormitorio en el tercer piso, a 10 m de altura, para que llegue a un blanco a 8 m de distancia del edificio. (a) Si el estudiante arroja la pelota en dirección horizontal, ¿Con qué velocidad la debe arrojar?, (b) ¿Cuál debe ser la velocidad de la pelota, si la arroja, hacia arriba, con un ángulo de 29º con respecto a la horizontal?, (c) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota volando en el caso (b)?

SOLUCION:




            Y
                                        g, g º 10

    

       0 =A     q  v(0) 
                                             X

    10


                               B(8-10)
                     8










a)

b)   

     

                                                                                                         

c)

                                                                                             


                                                         B


                                                         h


 A             q                                          5,5 m

                    1,5 m


                                10 m

S4P13) Un muchacho en A arroja una pelota directamente a una ardilla parada sobre una rama en B. Si la rapidez inicial de la pelota es de 16 m/s y la ardilla, en vez de asustarse, se deja caer en el instante en que se lanzo la pelota, demuestre que la ardilla puede atrapar la pelota y determine la longitud h que la ardilla cae antes de hacer la captura.


SOLUCION:



                                                  B
                                                              g
                                                         h             H2 - H1
                      v(0)                   C
Y                A        q                     H2

0
        X       H1


                   A’            D               B’














t º 0: Pelota en A y Ardilla en B

 “directamente”  hacia B:

¾®


Sea t : Pelota y ardilla en C,

Usando XY en A’:

Para la pelota,

                                   





Para la Ardilla,






a)    Como en t  ¡la ardilla puede coger la pelota!


b)  
    



¿? Será posible resolverlo rápidamente usando la Ec de la parábola.



EF2007IP2) Se lanza un objeto (Mov. Parabólico) de forma que pasa justamente sobre dos obstáculos cada uno de 11,35 m de altura y que están separados por la distancia horizontal de 52 m. Calcule el alcance horizontal total (R=X) y la velocidad inicial (V0) de lanzamiento sabiendo que el tiempo empleado en recorrer el espacio entre los 2 obstáculos es de 2,6 segundos. (g=9,8 m/s2)

SOLUCION:

                Y



                                               g= 9,8

             H        v’0y   v’0   D’
                     d         B’                             C’
         11,35
                               v0
                   v0y
                                                                         
                                                                 X
               0   b  B                              C   b  A                                   
                                                   52



Del MP de B’ a C’: Como

Y:


Del MP de 0 a B’:

Y:
               

Del MP de B a C: Asumiendo “0” en B,

X:

                


a)    De la ecuación del rango,

             


                                                   



                     


b)

   
















                               M


 va                                            vb


    37°                                      q
A           80 m                     60 m            B


EF2007IIP2) En la grafica mostrada dos móviles son lanzados simultáneamente, y chocan en el punto “M”. Si el que sale de A lo hace con una velocidad de 50 m/s  y un ángulo de 37°, ¿Cuál debe ser el ángulo y velocidad de lanzamiento del móvil que sale de B? (9,8 m/s2)

SOLUCION:
        
Como el movimiento de los móviles es simultaneo,, y usando el sistema 0XY mostrado,


     Y

                               M             g


 va                                            vb


    37°                                      q
A           80 m                     60 m            B






       X



Para el móvil A,


Para el móvil B,


Usando


                                                                                    

a) De       

b) De la ecuación  a             

S4P5) Una bola es lanzada del origen de coordenadas con una velocidad inicial de v0 = 50 m/s. Si transcurridos 3 s alcanza su altura máxima, halle el punto del plano (x,y) donde se encuentra la bola transcurridos 4 s después de su lanzamiento.

SOLUCION:

Describamos el problema mediante el siguiente grafico,


       y 

          v (0)     t=3     t º 4

                                  ?
                             Q
tº0        q

        0                                  x











Del  calculamos el ángulo q: como alcanza su altura máxima e 3 s, el ,

 



®










S4P6) ¿Cuál es el ángulo de elevación del lanzamiento de un proyectil para que su alcance sea el doble que su altura máxima?

SOLUCION:





S4P8) Se lanza un cuerpo con una rapidez de 40 m/s, haciendo un ángulo de 37º, desde la azotea de un edificio de altura H, impactando en el suelo a una distancia de 160 m, medida desde la base del edificio. Halle la altura máxima alcanzada por el cuerpo con respecto al piso.

SOLUCION:

      y
         v(0)

            37º h
      0                Q  160
                              X
     H

               piso       P(160,-H)
    -H


De la grafica adjunta, representando al punto de impacto con el piso, P=P (160,-H), y reemplazarlo en la ecuación de la parábola para hallar H,





        
Ahora, en el MP de 0Q, hallamos la altura máxima,



                                              

S4P11) Se lanza un cuerpo con una rapidez  v(0)=20 m/s, haciendo un ángulo de 53º, desde la azotea de un edificio de altura 20 m, impactando en el suelo a una distancia d, medida desde la base del edificio. Halle la distancia d y la altura máxima con respecto al suelo alcanzada por el cuerpo.

SOLUCION:
      y
          v(0)
vy(0)
  t=0     53°       d

       0                         X
    

                 d           P(d,-20)
   -20                         t=t


a)    Usando el eje Y para calcular el tiempo de movimiento, t,

   

   

    

       ,

         


      Ahora usando X para hallar d,
   
     

                   
b)    Ahora, en el tramo de ascenso, usamos,


    


         


    







jj) Movimiento Circular, MC


La trayectoria será de una circunferencia.




                        Y      t
                                                   n=r
                                                     
                               R                     t=t
                                            s
                                  q               x  t=0
                         0          

                                                   




La descripción del MC se realiza frecuentemente usando las variables s o q, esto es, usando variables lineales o angulares.


k) Cantidades Cinemáticas del MC


l) Posición

m) Lineal: s= s(t)

mm) Angular: q =q(t)

mmm) Relación: s= Rq



ll) Velocidad

m) Velocidad Lineal, v=vt

     La llamada velocidad tangencial es la velocidad definida en las cantidades cinemáticas iniciales, se relaciona con s mediante la rapidez,

           

mm) Velocidad Angular, w

Describe los cambios de q respecto del tiempo. Se define de la siguiente forma,


    u[w]= rad/s


mmm) Relación entre | v| y w




lll) Aceleración


m) Aceleración, a

El vector aceleración suele descomponerse en dos direcciones adecuadas, tales como la radial y la tangencial, resultando,





A la componente radial de la aceleración se le denomina aceleración centrípeta, acp.


mm) Aceleración Angular, a

Describe los cambios de la w respecto del tiempo,


    u[a]= rad/s2



mmm) Relación entre at y a



kk) Tipos de movimientos Circulares

Al igual que en el caso de los MR podrían ser MCU, MCUV.

Aplicando conceptos de simetría, es posible vincular al MCU con el MRU y al MCUV con el MRUV, en cuyos casos tanto las ecuaciones como los gráficos son equivalentes, por lo tanto se usaran las mismas ecuaciones y gráficos para el MCU y el MCUV, respectivamente.



¿? De 5 ejemplos concretos de movimientos circulares.

¿? Los planetas hacen MC.































S4P20) Europa, la Luna de Júpiter, tiene  un radio orbital de 6,67 x 108 m y un periodo de 85,2 h. Calcule la magnitud de a) la velocidad orbital, b) la velocidad angular y c) la aceleración centrípeta de Europa.

SOLUCION:



b)

a)

c)


     
             A




            B

EF2007IP3)  Dos partículas pasan simultáneamente (MCU) por los extremos de un diámetro AB y en los sentidos indicados en la figura. Si giran con periodos TA = 25 segundos y TB = 30 segundos respectivamente, calcular al cabo de que tiempo logran cruzarse por segunda vez.

SOLUCION:


     A


           a     AB
            b   

       B
1°      t1
     
             
                 B
              b
          a      AB
  A    
        
          t1
     
 AB        B
        b
    a

  A

        t1








   


EF2007IIP3) En una pista circular un ciclista puede dar tres vueltas en un minuto y otro sólo 2 vueltas en un minuto. Si ambos parten de dos puntos diametralmente opuestos y avanzan uno al encuentro del otro ¿en qué tiempo s encontraran y que porción de circunferencia habrá recorrido cada uno?

SOLUCION:
      AB
                 B tº0
          qB
    qA
         0

 A
           
            A:                           

            B:



a)
           

b)